Segredo da mala de viagem perfeita está na matemática; aprenda os truques
Rolinhos, quadrados, cubos organizadores: cada viajante tem seus truques e suas teorias sobre como é mais eficiente de empacotar a mala. Mas o matemático Thomas Hales, da Universidade de Pittsburgh, dedicou os últimos 25 anos de sua carreira a resolver este mistério.
Em 1999, Hales publicou um primeiro artigo em que provou que organizar objetos em forma de hexágonos é a maneira de melhor preencher totalmente um espaço, com menos vãos sobrando no final. Por exemplo, se você quer tentar acomodar uma área circular — pense em uma mala em tubo — hexágonos organizados em círculo ocupam eficientemente cerca de 90,69% de todo o espaço disponível.
Thomas chamou sua teoria de "conjectura da colmeia", já que as abelhas se organizam melhor do que humanos há milhares de anos com suas casas compostas pelos caixilhos hexagonais. Mas o pesquisador não se deu por satisfeito.
Investigando o pior jeito de fazer a mala
Quase 25 anos depois, Thomas Hales ainda era atormentado por uma pergunta sem resposta: qual era o pior jeito de fazer uma mala? Ele vem trabalhando para solucionar esta pergunta feita pela primeira vez por matemáticos na década de 1920 com um antigo aluno seu, o engenheiro da Intel Koundinya Vajjha. Os dois publicaram em maio um livro com seus avanços, "Packings of Smoothed Polygons" (Empacotando Polígonos Aplainados, em tradução livre).
Simplificando o complexo problema proposto pela dupla, o objetivo era encontrar a pior forma que se fosse repetida diversas vezes dentro de uma mesma área, levaria ao maior desperdício possível de espaço nos vãos.
Para delimitar o campo de pesquisa, os dois trabalharam com polígonos que possuíssem simetria central — já que é conhecido que o polígono mais assimétrico é o heptágono, que só ocupa 89,27% de qualquer área ao ser "empacotado". (Apesar desta certeza, matemáticos ainda não conseguiram provar de maneira definitiva que heptágonos realmente sejam mais difíceis de colocar na mala.)
"Assim como na física, há essa ideia de que, na matemática, se você tem simetria, você também tem leis de conservação", justificou o matemático à revista Quanta. Itens côncavos ou "totalmente ocos" também não interessavam à dupla, já que eles não possuem densidade. Ou seja, se você tiver um círculo vazio, sempre pode enfiar mais um souvenir mais dentro. Então eles imaginavam que o pior formato que um objeto poderia ter para ser empacotado seria convexo e com simetria central.
Objetos são mesmo piores?
Há quase um século, matemáticos acreditavam que objetos circulares seriam as piores opções para se empacotar. Mas, em 1934, o matemático alemão Karl Reinhardt teorizou que poderia haver algo pior: um octógono de extremidades arredondadas, quase como um ringue de artes marciais.
Quando estes polígonos possuem arcos de hipérboles em seus cantos e são dispostos repetidas vezes dentro de uma área, estima-se que eles cobririam cerca de 90,24% do espaço. Se o mesmo fosse feito com um círculo, a cobertura seria de 90,69% — ou seja, a diferença seria pequena, mas o octógono levaria realmente a pior.
Outro problema que os matemáticos enfrentam ao tentar resolver o mistério do pior jeito de arrumar a mala é encontrar uma forma geométrica cuja densidade máxima de empacotamento — a proporção entre espaço ocupado e espaço total — tenha o menor valor. Bem a grosso modo, objetos ocos permitem que você aperte mais um pouquinho, mas se um objeto alinhado com outros iguais não for oco, mas apenas "quase oco", ele complica a sua vida porque não cabe mais coisa no meio, mas também há mais espaço desocupado sobrando.
Oficialmente chamado de problema "minimax", ele requer o uso de cálculos de variações, bastante complexo. Reinhardt nunca conseguiu provar totalmente sua teoria em relação aos octógonos arredondados por causa disso, apesar de haver indícios de que este é um caminho interessante. Hales e Vajjha perceberam que esta abordagem não resolvia a pergunta e decidiram ir por outro caminho.
Traçando os pontos arredondados do polígono com hipérboles, eles descobriram que as curvas eliminam bastante da área das extremidades sem interferir com o empacotamento. Ou seja, a solução esperada não teria apenas curvas, mas um misto de curvas e ângulos pontiagudos — o tal "polígono aplainado". Apesar de não resolver totalmente a pergunta, a dupla de Pittsburgh acabou confirmando a teoria de Kurt Mahler de 1946 de que esta combinação seria, ao menos, pior do que simplesmente o octógono arredondado.
É bom lembrar que o estudo é teórico e, na vida real, o formato da mala, o material de que são feitos os objetos que serão transportados, flexibilidade, entre outras características influenciam na dificuldade de empacotar. Mas é possível tirar algumas lições do trabalho de Hales e Vajjha:
- Evite viajar com tigelinhas arredondadas e poligonais, de seis a oito lados, de lembrança. O desperdício de espaço de um objeto cuja densidade é baixa e possui muitos "cantos" é grande.
- Brinquedos e itens de decoração irregulares também podem ficar em casa; o encaixe não é perfeito e estes objetos costumam ser volumosos.
- Esqueça as esculturas e outros mimos arredondados: mais uma vez, o encaixe nos cantos da mala pode ser difícil.
Ficou curioso para conhecer o cálculo e ver o que mais evitar? Os pesquisadores disponibilizaram o livro gratuitamente no link arxiv.org/pdf/2405.04331. Também é possível conhecer os diagramas e uma versão simplificada do trabalho no blog de Thomas Hales.
